论文标题
部分可观测时空混沌系统的无模型预测
On Hadamard powers of Random Wishart matrices
论文作者
论文摘要
储层计算是预测湍流的有力工具，其简单的架构具有处理大型系统的计算效率。然而，其实现通常需要完整的状态向量测量和系统非线性知识。我们使用非线性投影函数将系统测量扩展到高维空间，然后将其输入到储层中以获得预测。我们展示了这种储层计算网络在时空混沌系统上的应用，该系统模拟了湍流的若干特征。我们表明，使用径向基函数作为非线性投影器，即使只有部分观测并且不知道控制方程，也能稳健地捕捉复杂的系统非线性。最后，我们表明，当测量稀疏、不完整且带有噪声，甚至控制方程变得不准确时，我们的网络仍然可以产生相当准确的预测，从而为实际湍流系统的无模型预测铺平了道路。
A famous result of Horn and Fitzgerald is that the $β$-th Hadamard power of any $n\times n$ positive semi-definite (p.s.d) matrix with non-negative entries is p.s.d $\forall β\geq n-2$ and is not necessarliy p.s.d for $β< n-2,$ with $\ β\notin \mathbb{N}$. In this article, we study this question for random Wishart matrix $A_n:={X_nX_n^T}$, where $X_n$ is $n\times n$ matrix with i.i.d. Gaussians. It is shown that applying $x\rightarrow |x|^α$ entrywise to $A_n$, the resulting matrix is p.s.d, with high probability, for $α>1$ and is not p.s.d, with high probability, for $α<1$. It is also shown that if $X_n$ are $\lfloor n^{s}\rfloor\times n$ matrices, for any $s<1$, the transition of positivity occurs at the exponent $α=s$.
