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$ {\ Mathbb {p}^1 \ Times \ Mathbb {p}^1} $中最简单的最小免费分辨率
The simplest minimal free resolutions in ${\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1}$
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论文摘要
我们研究了一个理想的最小的自由分辨率，其中三个具有同一双层发电机包含的三个发电机，其中包含在Bihomenosient的最大理想$ \ langle s，t \ rangle \ cap \ cap \ langle u，v \ langle u，v \ rangle u，v \ rangle $的bigraded randed环k [s，t; t; u，v]。我们的分析涉及来自代数几何形状（Segre-veronese品种），经典交换代数（Buchsbaum-Eisenbud精确性标准，Hilbert-Burch Theorem）和同源代数（Koszul同源性，光谱序列）的工具。我们详细治疗了二次的情况（1，n）。我们将作品与弗罗伯格·洛德奎斯特（Fröberg-Lundqvist）的猜想联系起来，这是希尔伯特（Hilbert）功能的，并带有许多开放问题。
We study the minimal bigraded free resolution of an ideal with three generators of the same bidegree, contained in the bihomogeneous maximal ideal $ \langle s,t\rangle \cap \langle u,v \rangle$ of the bigraded ring K[s,t;u,v]. Our analysis involves tools from algebraic geometry (Segre-Veronese varieties), classical commutative algebra (Buchsbaum-Eisenbud criteria for exactness, Hilbert-Burch theorem), and homological algebra (Koszul homology, spectral sequences). We treat in detail the case in which the bidegree is (1,n). We connect our work to a conjecture of Fröberg-Lundqvist on bigraded Hilbert functions, and close with a number of open problems.
