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维度2中的布朗运动至上
Running supremum of Brownian motion in dimension 2: exact and asymptotic results
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论文摘要
本文研究了$π_t（a_1，a_2）= \ mathbb {p} \ left（\ sup \ limits_ {t \ in [0，t]}（σ_1B（t）-c_1t）> a_1> a_1，\ sup \ sup \ sup \ sup \ limits_ in [0， b（t）-c_2t）> a_2 \ right），其中$ \ {b（t）：t \ geq 0 \} $是一种标准的布朗尼运动，具有$ t> 0，σ_1，σ_2> 0，c_1，c_1，c_1，c_2，c_2 \ in \ mathb {r}。 $π_t\ left（A_1，A_2 \右）$，并在所谓的多源和高阈值制度中找到其渐近行为。
This paper investigates $π_T(a_1,a_2) = \mathbb{P}\left(\sup\limits_{t\in[0,T]} (σ_1B(t)-c_1t)>a_1, \sup\limits_{t\in[0,T]}( σ_2 B(t)-c_2t)>a_2\right),$ where $\{B(t) : t \geq 0\}$ is a standard Brownian motion, with $T >0, σ_1,σ_2>0, c_1, c_2\in\mathbb{R}.$ We derive explicit formula for the probability $π_T\left(a_1,a_2\right)$ and find its asymptotic behavior both in the so called many-source and high-threshold regimes.
